[序言]
数学，作为一种自封的、一环接一环的真理系统，而不涉及其起因和目的，也是有着它的诱惑力的，并且还能满足某种哲学上的需要。但
是，这种在学科本身中做内省的态度和方法，对于那些想要获得独立的智能而不要训条式的教导的学生们是不适宜的；不顾及应用和直观，将
导致数学的孤立和衰退，因此，使学生和教师们不受这种自我欣赏的纯粹主义的影响，看来是非常重要的。
[引论]
因为有理数系对于几何学来说是不够的，所以必须创造新的数作为不可通约的量：这些新的数称为“无理数”。古希腊人并不重视抽象的
数的概念，而是把诸如线段这样一些几何实体看作为基本元素。他们用纯几何的方法发展出不但用来运算和处理可通约（有理）量，而且用来
运算和处理不可通约量的逻辑体系。由毕达哥拉斯引入而由欧多克斯（Eudoxus）大大推进了的这一重要成就，在欧几里得（Euclid）著名的《
几何原本》中有详细的叙述。现代，在数的概念而不是几何概念的基础上，重建了数学，并且有了巨大发展。随着解析几何的引入，在古代的
数和几何量之间的关系当中，强调的重点被颠倒过来了，而且关于不可通约量的经典理论几乎已被忘记或忽视了。过去作为一件当然的事情，
曾经认为数轴上的每一个点对应着一个有理数或无理数，并且全体“实”数所服从的算术运算法则同有理数。后来，直到19世纪，人们才感到
有必要来证明这样的假设，而在戴德金（Dedekind）著名的小册子中终于完满地实现了，这本小册子至今仍然是引人入胜的读物（《数的性质
和意义》）。
事实上，戴德金证明了这样一：从费马（Fermat）和牛顿（Newton）到高斯（Gauss）和黎曼（Riemann），一切大数学家实际采用的朴素
的方法，是沿着一条正确的道路前进的：实数系（作为线段的长度或按其他方式定义的一些符号）对于科学度量来说是一种协调而完备的工具
，并且在实数系中，有理的运算法则仍然有效。
希腊数学的重大成就之一，是将许多数学命题和定理按逻辑上连贯的方式化归为为数不多的非常简单的公设或公理，即熟知的几何公理和
算术法则，它们支配着如整数、几何点这样一些基本对象之间的关系。这些基本对象是作为客观现实的抽象或理想化而产生的。各项公理，或
因从哲学观点看可认为是“显然”的，或仅仅因其非常有说服力，而不加证明地予以接受，而已定型的数学结构便建立在这些公理的基础之上
。在后来许多世纪中，公理化的欧几里得数学曾被认为是数学体系的典范，甚至为其他学科所努力效仿。（例如，像笛卡儿、斯宾诺沙等哲学
家，就曾试图把他们的学说用公理方式，或者如他们所说，“更加几何化”地提出来，以便使之更有说服力。）
经过中世纪的停滞时期以后，数学和自然哲学一起，在新出现的微积分的基础上开始了突飞猛进的发展，这时公理化的方法才被人们遗弃
了。曾经极其广泛地开拓了数学领域的有创造才能的先驱们，并不因为要使这些新发现受制于协调的逻辑分析而束缚住自己，因此，在17世纪
，逐渐广泛地采用直观证据来代替演绎的证明。一些第一流的数学家在确实感到结论无误的情况下，运用了一些新的概念，有时甚至运用一些
神秘的联想，就像关于“无穷小数”或“无穷的小的量”等等。由于对微积分新方法的威力的信念，促使研究者们走的很远。（如果束缚于严
格的限制的框架上，这是不可能的。）不过也只有那些具备卓越才能的数学大师们才有可能避免发生大错。
早期的那种不甚加鉴别但卓有成效的积极努力，逐渐地遇到了对抗的思潮，这种对抗在19世纪时达到高潮，但是仍没有阻止先前已出现的
富于建设性的数学分析的发展。19世纪的许多大数学家，特别是柯西和外尔斯特拉斯（Weierstrass），在致力于严格的重新评价方面，都曾起
过重大作用。由于他们的努力，不仅为数学分析奠定了新的坚实的基础，而且使之更加清晰和简单，并为进一步重大的发展提供了根据。
当时，一个重要的目标是要用数的运算为基础来做严格推理，以代替对于含混不清的“直觉”的盲目信赖；因为朴素的几何思想留下了一
个令人不满的含混的余地。例如，连续曲线的一般概念，就避开了几何上的直观。正如前面定义所给出的，表示连续函数的连续曲线不需要在
每一点上都具有确定的方向；我们甚至能构造一些连续函数，它们的图形处处都没有方向，或者说，这些曲线的长度都不能确定。
但是，我们决不能忘记，抽象的演绎推理只不过是数学的一个方面，而数学分析的推动力量极其广大的视野，则来自物理现实和直观的几
何。
[关于在自然科学中的应用的一点评述]
当把数学应用于自然现象时，我们所处理的一些数量决不会是绝对精确的量。一个长度是否正好是一米，这个问题不能用任何实验来判断
，因而是没有物理意义的。而且，我们说一个杆件的长度是有理数或无理数，这句话也没有直接的物理意义。而且，我们说一个杆件的长度是
有理数或无理数，这句话也没有直接的物理意义；我们总是能用有理数来度量其长度而达到任何所要求的精确度，而唯一有意义的问题是我们
能否用分母比较小的有理数来设法完成这种度量。正像在“精确数学”的严格意义下有理性或无理性的问题没有物理意义一样，在应用中实现
求极限的过程通常只不过是数学的理想化而已。
这种数学理想化的实际（和重大的）意义在于这一事实：通过理想化，解析表达式实质上变得非常简大单而比较容易处理。例如，瞬时速
度仅仅是一个确定的时刻的函数，这个观念比两个不同时刻之间的平均速度的观念简单的多，使用起来也比较方便一些。如果没有这种数学的
理想化，对于自然现象的每一项科学研究都肯定会复杂的没法处理，并且在一开始就会陷于困境。
……为了更好地理解这一理论，应当着重强调的是在应用中我们完全可以用差商来代替导数，反之亦然，只要二者之差小到能够保证足够
精确的同这些概念打交道的任何其他人，完全可以在自己所要求的精确度的范围内，把差商同导数等同起来。自变量h = dx越小，用微分 dy =
hf'(x)来代替增量△y = f(x + h) - f(x)便越精确。只要着意于保持在问题所要求的精确度范围内，那么他甚至可以说dx = h和dy = hf'(x)
这些量是经常变动的，在所进行的研究中取有限的但不等于零的、且选得足够小的值，例如小于波长的若干分之一，或小于原子中两个电子之
间的距离，一般说来，比所要求的精确度还要小。
